Question

如图1，Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，点P以2cm/s的速度从A处沿AB方向匀速运动，点Q以1cm/s的速度从C处沿CA方向匀速运动．连接PQ，若设运动的时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）设四边形BCQP的面积为y，求出y与t的函数关系式，并求当t为何值时，y的值最小，写出最小值；
（3）如图2，将△APQ沿AP翻折，使点Q落在Q′处，连接AQ′，PQ′，若四边形AQPQ′是平行四边形，求t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）首先在Rt△ABC中利用勾股定理求得AB=10cm；然后由相似三角形的对应边成比例求得t的值．在△APQ与△ABC中，由一个公共角，所以分两种情况进行讨论：△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB；
（2）如答图2，过点Q作QD⊥AP，垂足为D．构建相似三角形：Rt△ADQ∽Rt△ACB，根据该相似三角形的对应边成比例得到：QD=

AQ•BC

AB

=

4

5

（6-t）．结合图形知道
y=S_△ABC-S_△APQ，由此列出y关于t的二次函数，利用二次函数的性质进行解答；
（3）若四边形AQPQ′是平行四边形，则四边形AQPQ′一定是菱形．如答图3，连接QQ′交AP于点E．由“菱形的对角线互相垂直且平分”和相似三角形的判定推知
Rt△AEQ∽Rt△ACB，所以根据该相似三角形的对应边成比例来求相应的t的值．

解答：解：（1）当t=

30

11

或t=

18

13

时，△APQ与△ABC相似．理由如下：
∵如答图1，Rt△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理知 AB=

AC2+BC2

=10cm．
由题意知，CQ=t，AQ=6-t，AP=2t．
若△APQ与△ABC相似时，分两种情况：△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB．
①当△APQ∽△ABC时，

AP

AB

=

AQ

AC

，即

2t

10

=

6-t

6

，
解得 t=

30

11

；
②当△APQ∽△ACB时，

AP

AC

=

AQ

AB

，即

2t

6

=

6-t

10

，
解得 t=

18

13

．
综上所述，当t=

30

11

或t=

18

13

时，△APQ与△ABC相似；

（2）如答图2，过点Q作QD⊥AP，垂足为D．
∵∠A=∠A，AC⊥BC，
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB，
∴

AQ

AB

=

QD

BC

，
∴QD=

AQ•BC

AB

=

4

5

（6-t）．
由题意得：y=S_△ABC-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AP•QD=

4

5

（t-3）²+

84

5

，
∵

4

5

＞0，
∴该抛物线的开口方向向上，该函数有最小值，
又∵0＜t＜5，
∴当t=3时，y_最小=

84

5

．
即：当t=3时，y的值最小，其最小值为

84

5

；

（3）由题意得，若四边形AQPQ′是平行四边形，则四边形AQPQ′一定是菱形．
如答图3，连接QQ′交AP于点E，则QQ′⊥AP，且QQ′与AP互相平分．
∵由（2）得QE=QD=

4

5

（6-t），AE=

1

2

AP=t，且Rt△AEQ∽Rt△ACB，
∴

AE

AC

=

QE

CB

，即

t

6

=

4 5 (6-t)

8

，
解得 t=

9

4

．

点评：本题考查了相似综合题．对于两个相似三角形，没有指出对应角（或对应边）时，一定要分类讨论．一般情况下，分三种情况进行讨论，不过在本题中，由于在△APQ与△ABC中，由一个公共角，所以分两种情况进行讨论：△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB；另外，在解答（2）时，通过配方法来求二次函数的最值的．