Question

如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．
（1）求证：2EF=CD；
（2）当EF与BC满足

 

时，四边形ABCD是矩形；
（3）当EF与BC满足

 

时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；
（4）当EF与BC满足

 

时，四边形ABCD是正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,三角形中位线定理,平行四边形的性质,菱形的判定,矩形的判定

专题：

分析：（1）利用三角形中位线定理以及其性质判断得出即可；
（2）利用矩形的判定方法得出即可；
（3）利用菱形的判定方法得出即可；
（4）利用正方形的判定方法得出即可．

解答：（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴点F为AC，BD的中点，
又∵E是BC的中点，
∴EF为△DBC的中位线，
∴2EF=CD；

（2）EF⊥BC；
理由：∵EF为△DBC的中位线，EF⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
故答案为：EF⊥BC；

（3）BC=2EF，
理由：∵点E为BC的中点，且BC=2EF
∴EF=BE=EC，
∴∠EBF=∠BFE，∠EFC=∠ECF
又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF=180°
∴∠BFC=∠BFE+∠EFC=90°，
∴平行四边形ABCD是菱形；
故答案为：BC=2EF；

（4）EF⊥BC且BC=2EF．
理由：由（2）（3）可得：
当EF与BC满足EF⊥BC且BC=2EF时，四边形ABCD是正方形．
故答案为：EF⊥BC且BC=2EF．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及菱形和矩形以及正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理是解题关键．