Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，K点坐标为（0，1），在抛物线y=x²-2x-3中，D是顶点，是否存在点L，使△AKL和△LCD面积相等？若有，求出点L坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：KA和DC的延长线相交于P，作PE⊥y轴于E，交抛物线于L和L′，作DH⊥y轴于H，先根据抛物线与x轴的交点问题确定A点坐标为（-1，0），易得△OKA为等腰直角三角形，则∠AKO=45°，利用配方得y=x²-2x-3=（x-1）²-4，得到D点坐标为（1，-4），则DH=1，CH=1，所以△CDH为等腰直角三角形，得到∠HCD=45°，根据对顶角相等得∠PCO=45°，于是可判断△PKC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PE平分∠KPC，KE=CE，根据角平分线的性质得点L（或L′）到AK和CD的距离相等，所以△AKL和△LCD面积相等；然后确定直线PE为y=-1，再求直线y=-1与抛物线y=x²-2x-3的交点坐标即可．

解答：解：存在．
KA和DC的延长线相交于P，作PE⊥y轴于E，交抛物线于L和L′，作DH⊥y轴于H，如图，
把y=0代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0），
∵K（0，1），
∴△OKA为等腰直角三角形，
∴∠AKO=45°，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D点坐标为（1，-4），
而C（0，-3），
∴DH=1，CH=1，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴∠HCD=45°，
∴∠PCO=45°，
∴△PKC为等腰直角三角形，
∴PE平分∠KPC，KE=CE，
∴点L（或L′）到AK和CD的距离相等，
∵KC=4，
∴直线PE为y=-1，
把y=-1代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-1，解得x₁=1-

3

，x₂=1+

3

，
∴点L坐标为（1-

3

，-1）和（1+

3

，-1）．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，对称即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．