Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD=t．
（1）tan∠FOB=

 

；
（2）已知二次函数图象y=-x²+bx+c经过O、C、F三点，求二次函数的解析式；
（3）当t为何值时以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据点A的坐标求出∠AOD=45°，然后判断出△OCD是等腰直角三角形，然后得到正方形的边长等于t，再根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解；
（2）表示出C、F的坐标，然后分别把点C、F的坐标代入函数表达式得到关于b、t的方程，然后求出b、t的值，即可得解；
（3）先利用△ACF和△AOB相似，根据相似三角形对应边成比例用t表示出OB，再根据相似三角形对应边成比例分情况求出BE，然后根据OB的长度列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵点A（2，2），
∴∠AOD=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∵OD=t，
∴正方形CDEF的边长为t，
∴OE=OD+DE=t+t=2t，
在Rt△OEF中，tan∠FOB=

EF

OE

=

t

2t

=

1

2

；
故答案为：

1

2

．

（2）∵图象过原点，
∴c=0，
∵图象过C（t，t）点，
∴-t²+bt=t（0＜t＜2 ），
∴-t+b=1①，
同理图象过F（2t，t）点，得-4t+2b=1②，
由①②可得t=

1

2

，b=

3

2

，
∴y=-x²+

3

2

x；

（3）∵四边形CDEF是正方形，
∴CF∥OB，
∴△ACF∽△AOB，
∴

AC

OA

=

CF

OB

，
即

2 2 - 2 t

2 2

=

t

OB

，
解得OB=

2t

2-t

，
要使△BEF与△OFE相似，∵∠FEO=∠FEB=90°，
∴只要

EF

OE

=

EF

EB

或

EF

OE

=

EB

EF

，
即

t

EB

=

1

2

或

EB

t

=

1

2

，
解得，BE=2t或BE=

1

2

t，
①当BE=2t时，BO=4t，
∴

2t

2-t

=4t，
解得t=0（舍去）或t=

3

2

；
②当BE=

1

2

t时，
若B在E的左侧，则OB=OE-EB=2t-

1

2

t=

3

2

t，
∴

2t

2-t

=

3

2

t，
解得t=0（舍去）或t=

2

3

；
若B在E的右侧，则OB=OE+EB=2t+

1

2

t=

5

2

t，
∴

2t

2-t

=

5

2

t，
∴t=0（舍去）或t=

6

5

，
综上所述，t值为

3

2

或

2

3

或

6

5

时，以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）的分情况讨论，注意不要漏解．