Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从D开始向A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示时间（0≤t≤6）则：
（1）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）设△PCQ的面积=S，求出S与t的函数关系式，并探索S的最值情况．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：（1）使△QAP∽△PBC，△PAQ∽△PBC两种情况讨论即可得出以点Q、A、P为顶点的三角形与△PBC相似．
（2）利用△PCQ的面积为S=S_ABCD-S_APQ-S_CBP-S_CDQ即可求出s与t之间的函数关系式．

解答：解：（1）∵AB=12，BC=6，
v_P=2，v_Q=1，
AP=v_Pt=2t，
DQ=v_Qt=t，
AQ=DA-DQ=6-t，
∴BP=AB-AP=12-2t=2（6-t），
当△QAP∽△PBC时：
QA：PB=AP：BC，
（6-t）：（12-2t）=2t：6，
t=1.5，
当△PAQ∽△PBC时：，
PA：PB=AD：BC，
2t：（12-2t）=（6-t）：6，
（6-t）²=6t，
t²-18t+36=0，
（t-9）²=45
t=9±3

5

，
t=9+

5

＞6，舍去，
∴t=9-3

5

，
综上：t=1.5，或t=9-3

5

；
（2）依题意，得S=S_矩形ABCD-S_△QDC-S_△QAP-S_△PBC
整理，得S=t²-6t+36．
配方，得S=（t-3）²+27．
∴S与t之间的函数关系式为S=t²-6t+36．
当t=3时，S有最小值，最小值是27．

点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方的应用以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道很不错的中考题．