Question

设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为等腰直角三角形时，求b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b²-4ac的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b²-4ac＞0；可求得线段AB的表达式，利用公式法可得到顶点C的纵坐标，进而求得斜边AB上的高（设为CD），若△ABC为等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根据这个等量关系求出b²-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=

3

AE=

3

2

AB，据此列出方程，解方程求出b²-4ac的值．

解答：解：（1）当△ABC为等腰直角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则AB=2CD；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴|b²-4ac|=b²-4ac，
∵AB=

b2-4ac

|a|

，
又∵CD=

b2-4ac

4|a|

（a≠0），
∴

b2-4ac

=

b2-4ac

2

，
即

b2-4ac

=

(b2-4ac)2 4

，
∴b²-4ac=

(b2-4ac)2

4

，
∵b²-4ac≠0，
∴b²-4ac=4．

（2）如图，当△ABC为等边三角形时，
由（1）可知CE=

3

AE=

3

2

AB，
∴

b2-4ac

4a

=

3

2

×

b2-4ac

a

，
∵b²-4ac＞0，
∴

b2-4ac

16a2

=

3

4a2

，
∴b²-4ac=12．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．