Question

11．在△ABC中，∠ABC=30°，AB=8，AC=2$\sqrt{7}$，边AB的垂直平分线与直线BC相交于点F，则线段CF的长为$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$或$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，符合题意的三角形有两个，画出△ABC与△ABC′．作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质得出C′D=CD．由EF为AB的垂直平分线求出AE和BE长，根据勾股定理和解直角三角形求出AD、CD、BD、BF，即可求出答案．

解答 解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AC=AC′=2$\sqrt{7}$，AD⊥BC于D，
∴C′D=CD，
∵EF为AB垂直平分线，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，EF⊥AB，
∵∠ABC=30°，
∴EF=BE×tan30°=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，BF=2EF=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{（2\sqrt{7}）^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
即F在C和D之间，
∵BC=BD-CD=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴CF=BF-BC=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，C′F=BC′-BF=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$或$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，根据题意画出图形进行分类讨论是解题的关键．