Question

14．如图，在△ABC中，D是AC上一点，AB²=AD•AC，∠CBD的平分线交AC于点E．求证：AB=AE．

Answer 1

分析 利用比例性质由AB²=AD•AC得出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，然后加上公共角，证明△ADB∽△ABC，得出∠ABD=∠C，再由角平分线的定义和三角形的外角性质证出∠ABE=∠AEB，得出AB=AE即可．

解答 证明：∵AB²=AD•AC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴∠ABD=∠C，
∵AC平分∠CBD，
∴∠DBE=∠CBE，
∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠CBE+∠C，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定；证明三角形相似是解决问题的关键．