Question

15．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之和是不是定值？如果是定值，求出这个值；如果不是，请说明你的理由．

Answer 1

分析 过点C作FG的平行线交直线AB于H，证得四边形FHCG为矩形．得出FH=CG，FG=CH，所以△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，证得Rt△BEF∽Rt△BAM，那么根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{CH}$，即可求得CH=8，然后根据勾股定理求得BH=6，即可求出两三角形的周长和是24．

解答 解：是定值，过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{CH}$，
由BC=10，AB=5，AM=4，
∴CH=$\frac{AM•BC}{AB}$=$\frac{4×10}{5}$=8，
在RT△BCH中，BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=6，
所以BC+CH+BH=24，
所以，△BEF与△CEG的周长之和为24是定值．

点评 此题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．