Question

如图，已知在?ABCD中，AB=4，∠DAB=135°，以AB为直径的⊙O恰好经过点C．
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

考点：切线的判定,平行四边形的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连结OC，如图，根据平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，CD=AB=4，再根据平行线的性质可计算出∠B=180°-∠DAB=45°，由于OC=OB，则∠OCB=∠B=45°，所以∠BOC=90°，则∠OCD=90°，于是可根据切线的判定定理判断CD为⊙O的切线；
（2）根据梯形和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S_梯形AOCD-S_扇形AOC进行计算即可．

解答：解：（1）直线DC与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，CD=AB=4，
∴∠DAB+∠B=180°，
∴∠B=180°-135°=45°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B=45°，
∴∠BOC=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）阴影部分的面积=S_梯形AOCD-S_扇形AOC
=

1

2

（2+4）×2-

90•π•22

360

=6-π．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行四边形的性质和扇形面积公式．