Question

如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．
（1）如图①，若AC=BC，CE=EA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，利用AAS先证△AEQ≌△ECH，易得EQ=EH，把EQ=EH作为一个条件，再利用ASA易证Rt△EFQ≌Rt△EGH，从而有EF=EG；
（2）过点E作EQ⊥AB，EH⊥CD，根据CD⊥AB和EF⊥BE先证明△EFQ与△EGH相似，得到EF：EG=EQ：EH，再根据平行线分线段成比例定理求出EQ：CG=AE：AC，EH：AD=CE：AC，结合CE=kEA即可用CD、AD表示出EQ与EH，再利用∠A的正切值即可求出．

解答：证明：（1）作EH⊥CD，EQ⊥AB，
∵AC=BC，CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，
∴∠AQE=∠EHC=90°，
在△AEQ与△ECH中，

∠AQE=∠EHC ∠A=∠ACD EA=CE

，
∴△AEQ≌△ECH（AAS），
∴EQ=EH，
∵EH⊥CD，EQ⊥AB，CD⊥AB，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH，
∴Rt△EFQ≌Rt△EGH，
∴EF=EG；
（2）过E作EQ⊥AB，EH⊥CD，
∵CD⊥AB，
∴EQ∥CD，EH∥AB，
∵EF⊥BE，
∴∠EFQ+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGH（对顶角相等）
∴∠EFQ=∠EGH，
∴△EFQ∽△EGH，
∴

EF

EG

=

EQ

EH

，
在△ADC中，
∵EQ∥CD，
∴

EQ

CD

=

AE

AC

，
又∵CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EQ，
同理

EH

AD

=

CE

AC

，
∴AD=

k+1

k

EH，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC
tanA=

CD

AD

=

BC

AC

=

1

m

，
即

(k+1)EQ

k+1 k EH

=

1

m

，
∴

EQ

EH

=

1

km

，
∴EF=

1

km

EG．

点评：考查了相似三角形的判定与性质，本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．