Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：动点型,分类讨论

分析：由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．

解答：解：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm，
∵D为BC中点，
∴BD=2cm，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，
按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，
当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE=4cm，可得t=4；
当∠DEB=90°时，
∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴

BE

BC

=

BD

AB

，即

8-t

4

=

2

8

，解得t=7；
②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；
综上可知t的值为4或7或9，
故答案为：4或7或9．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．