Question

到姜堰观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40＜x＜70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
（2）设该景点一天的门票收入为w元．
①试用x的代数式表示w；
②试问：当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用,一次函数的应用

专题：

分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）①根据门票收入=单价×游览人数列式整理即可；
②把函数关系式整理成二次函数顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（50，3500），（60，3000），
∴

50k+b=3500 60k+b=3000

，
解得

k=-50 b=6000

．
∴y与x之间的函数关系式为y=-50x+6000；

（2）①w=xy=x（-50x+6000）=-50x²+6000x，
即w=-50x²+6000x；
②w=-50x²+6000x
=-50（x-120x+3600）+180000
=-50（x-60）²+180000，
∵a=-50＜0，
∴当x=60时，w有最大值，w_最大=180000．
答：当门票定为60元时，该景点一天的门票收入最高，最高门票收入是180000元．

点评：本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，（2）把函数解析式整理成顶点式形式求最大值更简便．