Question

18．如图1，已知：AM⊥FM，AM∥BC∥DE，AB∥CD∥EF，AB=CD=EF=6m，∠BAM=30°．
（1）求FM的长；
（2）如图2，连接AC、EC；BD、FD，求证：∠ACE=∠BDF．

Answer 1

分析 （1）分别过点B、D、F作BN⊥AM于点N，DG⊥BC延长线于点G，FH⊥DE延长线于点H，根据AB∥CD∥EF，AM∥BC∥DE，分别解Rt△ABN、Rt△DCG、Rt△FEH，求出BN、DG、FH的长度，继而可求出FM的长度；
（2）周长四边形ABDC是平行四边形，得出CA=DB，同理CE=DF，AE=BF，由SSS证明△ACE≌△BDF，即可得出结论．

解答 解：（1）分别延长DC、FE交AM于P、N；如图1所示：
∵AB∥CD，AM∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，AB=PC
同理四边形DPNE是平行四边形，PD=EN，
∴FN=AB+CD+EF=18cm
∵∠FMN=90°，∠BAM=30°，
∴FM=$\frac{1}{2}$FN=9m；
（2）连接AE、BF，如图2所示：
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴CA=DB，
同理CE=DF，AE=BF，
在△ACE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=DF}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\\{CA=DB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BDF（SSS），
∴∠ACE=∠BDF．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．