Question

3．已知关于x的方程x²+（m-3）x-m（2m-3）=0
（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m的方程，求得m的值．

解答 （1）证明：∵关于x的方程x²+（m-3）x-m（2m-3）=0的判别式△=（m-3）²+4m（2m-3）=9（m-1）²≥0，
∴无论m为何值方程都有两个实数根；

（2）解：设方程的两个实数根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=-（m-3），x₁×x₂=-m（2m-3），
令x₁²+x₂²=26，得：（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m-3）²+2m（2m-3）=26，
整理，得5m²-12m-17=0，
解这个方程得，m=$\frac{17}{5}$或m=-1，
所以存在正数m=$\frac{17}{5}$，使得方程的两个实数根的平方和等于26．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．