Question

如图，直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．
（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；
（2）求证：PE=PF．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：计算题

分析：（1）连接OD，格局PD垂直平分OA，且圆半径为8，求出OA与OB的长，BD与BC的长，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出BD的长，即可确定出CD的长；
（2）由PE为圆的切线，得到∠PEO为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，根据OE=OA，得到一对角相等，等量代换得到∠PEF=∠PFE，利用等角对等角即可得证．

解答：（1）解：连接OD，
∵直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，⊙O的半径为8，
∴OB=OA=4，BC=BD=

1

2

CD，
∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD=

OD2-OB2

=4

3

，
∴CD=2BD=8

3

；
（2）证明：∵PE是⊙O的切线，
∴∠PEO=90°，
∴∠PEF=90°-∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°-∠A，
∵OE=OA，
∴∠A=∠AEO，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF．

点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．