Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线c₁：y=ax²-4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P．

（1）直接点P的坐标；
（2）直线y=2x+b与抛物线c₁在相交于A、B两点，如图1，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两点，当PD=PC时，求a的值；
（3）若a=-1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c₁上的点，Q为线段MN的中点．设点N在抛物线c₁上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c₂，求抛物线c₂的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）点P过顶点，即y的取值与a无关；
（2）设点A、B的坐标分别为A（x₁，ax₁²-4a+4）、B（x₂，ax₂²-4a+4）．如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．通过相似三角形Rt△PGB∽Rt△AHP的对应边成比例得到

BG

PG

=

PH

AH

，即

2-x2

ax22-4a

=

2-x1

-(ax12-4a)

，则a（x₁+x₂）=-4a=2；
（3）设点Q的坐标为（x_Q，y_Q），点N的坐标为（x_N，y_N）．根据中点坐标的性质得到：x_N=2x_Q-2，y_N=2y_Q．所以把点N的坐标代入抛物线c₁的解析式得到y_N=-x_N²+8．
以点N的坐标表示点Q，则将其代入抛物线c₁的解析式得到：抛物线c₂的解析式为y=-2x²+4x+2．

解答：解：（1）∵y=ax²-4a+4=a（x²-4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P，
∴x²-4=0，
解得 x=2或x=-2（舍去），
则y=4，
∴点P的坐标是（2，4）；

（2）设点A、B的坐标分别为A（x₁，ax₁²-4a+4）、B（x₂，ax₂²-4a+4）．
又∵点A、B在直线y=2x+b上，
∴a（x₁+x₂）=2．
如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵AH∥x轴，
∴∠PAH=∠PDC．
同理，∠BPG=∠PCD，
∴∠AHP=∠PGB，
∴Rt△PGB∽Rt△AHP，
∴

BG

PG

=

PH

AH

，即

2-x2

ax22-4a

=

2-x1

-(ax12-4a)

，
∴x₁+x₂=-4，
∴a=-

1

2

；

（3）设点Q的坐标为（x_Q，y_Q），点N的坐标为（x_N，y_N）．
∵M（2，0）．
由点Q是线段MN的中点，可以求得，x_N=2x_Q-2，y_N=2y_Q．
∵a=-1，
∴抛物线c₁的解析式为y=-x²+8．
∵点N在抛物线c₁上，
∴y_N=-x_N²+8．
∴2y_Q=-（2x_Q-2）²+8，即y_Q=-2x_Q²+4x_Q+2，
∴抛物线c₂的解析式为：y=-2x²+4x+2．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判断与性质以及二次函数图象上点的坐标特征．解答（3）题的技巧性在于用点Q的坐标表示点N的坐标，然后把点N的坐标代入其所在抛物线的解析式，通过化简可以求得抛物线c₂的解析式．