题目内容
已知抛物线y=-x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）| A、始终不相似 |
| B、始终相似 |
| C、只有AB=AD时相似 |
| D、无法确定 |
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根据△PEF和△PDO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA2、PE、PD，从而得到
=
，再根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似解答．
| PA |
| PD |
| PE |
| PA |
解答：解：令x=0，则y=1，
∴OP=1，
设点A的横坐标为m，
则AD=-m2+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF=OD=m，OF=-m2+1，PF=1-（-m2+1）=m2，
在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，
在Rt△POD中，PD=
=
=
，
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
∴
=
，
即
=
，
解得，PE=m2
，
∴PA2=PD•PE=m4+m2，
∴
=
，
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD与△PEA始终相似．
故选B．
∴OP=1，
设点A的横坐标为m，
则AD=-m2+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF=OD=m，OF=-m2+1，PF=1-（-m2+1）=m2，
在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，
在Rt△POD中，PD=
| OP2+OD2 |
| 12+m2 |
| 1+m2 |
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
∴
| PF |
| OP |
| PE |
| PD |
即
| m2 |
| 1 |
| PE | ||
|
解得，PE=m2
| 1+m2 |
∴PA2=PD•PE=m4+m2，
∴
| PA |
| PD |
| PE |
| PA |
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD与△PEA始终相似．
故选B．
点评：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．
练习册系列答案
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