Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）求证：CD•DF=BC•BE；
（2）若M、N分别是AB、AD中点，且∠B=60°，求证：EM∥FN．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形得到∠ABD=∠ADC，再有∠AEB=∠AFD=90°，可得△ABE∽△ADF，于是

AB

AD

=

BE

DF

，进而

CD

BC

=

BE

DF

，即CD•DF=BC•BE；（2）延长EM交DA的延长线于点Q，由四边形ABCD是平行四边形得到∠Q=∠MEB，AE⊥BC于E，M是AB中点，ME=

1

2

AB=MB，∠MEB=∠B，所以∠Q=60°，同样求得∠DNF=60°，∠DNF=∠Q，即可得EM∥FN．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABD=∠ADC，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴

AB

AD

=

BE

DF

，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，
∴

CD

BC

=

BE

DF

，即CD•DF=BC•BE；
（2）延长EM交DA的延长线于点Q，

∵平行四边形ABCD，
∴DQ∥BC，∠Q=∠MEB，
∵AE⊥BC于E，M是AB中点，
∴ME=

1

2

AB=MB
∴∠MEB=∠B，
∴∠Q=∠B，
∵∠B=60°，
∴∠Q=60°，
∵AF⊥CD于F，N是AD中点，
∴NF=

1

2

AD=ND，∠NFD=∠D，
∵平行四边形ABCD，
∴∠D=∠B=60°，
∴∠NFD=∠D=60°，
∴∠DNF=60°，
∴∠DNF=∠Q，
∴EM∥FN．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质．还用到等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．