Question

19．如图1，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，连接CE．
（1）求证：△PCE是等腰直角三角形；
（2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，判断△PCE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形；
（2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，PA═PE=PC，推出∠1=∠2，由∠DFE=∠PFC，推出∠EPC=∠EDC，由∠ADC=120°，推出∠EDC=60°，推出∠EPC=60°，由PE=PC，即可证明△PEC是等边三角形；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，
在△PDA和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PD}\\{∠PDA=∠PDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△PDA≌△PDC，
∴PA=PC，∠3=∠1，
∵PA=PE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，
∴∠FPC=EDF=90°，
∴△PEC是等腰直角三角形．

（2）解：如图2中，结论：△PCE是等边三角形．

理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，∠ADC=∠ABC=120°，
在△PDA和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PD}\\{∠PDA=∠PDC}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△PDA≌△PDC，
∴PA=PC，∠3=∠1，
∵PA=PE，
∴∠2=∠3，PA═PE=PC，
∴∠1=∠2，
∵∠DFE=∠PFC，
∴∠EPC=∠EDC，
∵∠ADC=120°，
∴∠EDC=60°，
∴∠EPC=60°，∵PE=PC，
∴△PEC是等边三角形．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．