Question

11．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（-2，3）和点B（m，-2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；
（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A（-2，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图形上，
∴k=-2×3=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$，
∵点B在反比例函数y=-$\frac{6}{x}$的图形上，
∴-2m=-6，
∴m=3，
∴B（3，-2），
∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=3}\\{3a+b=-2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x+1；

（2）∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
设直线PQ的解析式为y=-x+c，
设点Q（n，-$\frac{6}{n}$），
∴-$\frac{6}{n}$=-n+c，
∴c=n-$\frac{6}{n}$，
∴直线PQ的解析式为y=-x+n-$\frac{6}{n}$，
∴P（1，n-$\frac{6}{n}$-1），
∴PQ²=（n-1）²+（n-$\frac{6}{n}$-1+$\frac{6}{n}$）²=2（n-1）²，
∵A（-2，3）．B（3，-2），
∴AB²=50，
∵AB=PQ，
∴50=2（n-1）²，
∴n=-4或6，
∴Q（-4.$\frac{3}{2}$）或（6，-1）．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，方程的思想，解（1）的关键是求出点B的坐标，解（2）的关键是得出用n表示出点P的坐标．