Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．
（1）求证：∠1=∠F．
（2）若sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，EF=2$\sqrt{5}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2$\sqrt{5}$，推出AB=2AE=4$\sqrt{5}$，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，设CD=x，则AD=BD=8-x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）证明：连接DE，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∵E是AB的中点，
∴DA=DB，
∴∠1=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，
∴AE=EF=2$\sqrt{5}$，
∴AB=2AE=4$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
设CD=x，则AD=BD=8-x，
∵AC²+CD²=AD²，
即4²+x²=（8-x）²，
∴x=3，即CD=3．

点评 本题考查了圆周角定理，解直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．