Question

2．如图，在?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF 相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①BD=$\sqrt{2}$BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG，⑤BH=HG．其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①②③⑤
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 通过判断△BDE为等腰直角三角形，得到BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，则可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；根据“AAS”可证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，运算可对③进行判断；利用平行线的性质可得AG∥BC，则∠ADB=∠DBC=45°，利用三角形外角性质得∠G＜45°，而∠BDH=45°，加上△BHD与△BDG有一个公共角，则可判断△BHD与△BDG不相似，于是可对④进行判断；根据平行线的性质得AB⊥BG，则∠ABG=90°，根据含30度的直角三角形三边的关系，只有当∠G=30°时，BG=2AB，而BH=AB，此时才有BH=HG，于是可对⑤进行判断．

解答 解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE，BD=$\sqrt{2}$BE，所以①正确；
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正确；
在△BEH和△DEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHE=∠C}\\{∠HEB=∠CED}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH，所以③正确；
∵AG∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠BDG=135°，
∴∠G＜45°，
而∠BDH=45°，
∴∠BDG≠∠G，
∴△BHD与△BDG不相似，所以④错误；
∵AB∥DF，
∴AB⊥BG，
∴∠ABG=90°，
只有当∠G=30°时，BG=2AB，而BH=AB，此时才有BH=HG，所以⑤错误．
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了平行四边形的性质．