Question

14．已知等腰△EAD和等腰△CAB，EA=ED，CA=CB，∠AED=∠ACB=α，以线段AC、AE为边作平行四边形ACFE，连接BF，DF．
（1）如图1，当α=90°，且A、D、C在一条直线上时，求∠DFB的度数；
（2）如图2，当0°＜α＜90°时，且A、D、C不在一条直线上时，求∠DFB的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据等腰直角三角形的性质得到∠EDA=∠EAD=45°，等量代换得到ED=FC，EF=CB，根据平行四边形的想知道的∠DEF=∠FCB，推出△DEF≌△FCB，由全等三角形的性质得到∠1=∠4，∠2=∠3，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到△EAD∽△CAB，根据相似三角形的性质得到∠7=∠8，DA：DE=AB：AC，根据平行四边形的性质得到∠6=180°-∠5，推出△DAB∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠9=∠2，于是得到结论．

解答  解：（1）如图1，
∵EA=ED，α=90°，
∴∠EDA=∠EAD=45°，
∵EA=ED，EA=FC，
∴ED=FC，
∵CA=CB，CA=EF，
∴EF=CB，
又∠5=∠6，
而∠AED=∠ACB=α，
∴∠AED+∠5=∠ACB+∠6，
即∠DEF=∠FCB，
在△DEF与△FCB中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠DEF=∠FCB}\\{EF=CB}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△FCB，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
而∠1+∠2=180°-α-45°
=180°-90°-45°=45°，
∴∠1+∠3=45°，
而∠EFC=135°，
∴∠DFB=x=135°-45°=90°；

（2）如图2，
∵△EAD和△CAB都是等腰三角形，∠AED=∠ACB=α
∴△EAD∽△CAB，
∴∠7=∠8，DA：DE=AB：AC，
∵四边形ACFE是平行四边形，
∴∠6=180°-∠5，
∠DAB=360°-∠6-2∠7，
=360°-（180°-∠5）-（180°-α）
=∠5+α，
∴△DAB∽△DEF，
∴∠9=∠2，
在等腰三角形FDB中，
∵∠DFB=∠y=180°-2（∠10+∠9）
而∠9=∠2，
∴∠DFB=180°-2（∠10+∠2）
=180°-（∠EDA+∠EAD）
=α．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．