Question

9．如图1，一次函数y=-x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B．以P（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切，若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移，同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大，设运动时间为t（s）
（1）点A的坐标为（10，0），点B的坐标为（0，10），∠OAB=45°；
（2）在运动过程中，点P的坐标为（1+2t，0），⊙P的半径为1+t（用含t的代数式表示）；
（3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2，求t=$\frac{5}{2}$时，弦EF的长；
②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出点A、B的坐标，即可解决问题．
（2）构建题意可得P（1+2t，0），⊙O半径为1+t．
（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．在Rt△APK中，由∠PKA=90°，∠PAK=45°，PA=4，推出PK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PA=2$\sqrt{2}$，在Rt△PEK中，根据EK=$\sqrt{P{E}^{2}-P{K}^{2}}$计算即可．
②分两种情形a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°；b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．分别列出方程求解即可，

解答 解：（1）∵y=-x+10的图象交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（10，0），B（0，10），
∴OA=OB=10，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
故答案分别为（10，0），（0，10），45°．

（2）由题意P（1+2t，0），⊙O半径为1+t，
故答案分别为（1+2t，0），1+t．

（3）①如图1中，作PK⊥AB于K，连接PE．

当t=$\frac{5}{2}$时，P（6，0），半径为3.5，
在Rt△APK中，∵∠PKA=90°，∠PAK=45°，PA=4，
∴PK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PA=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PEK中，EK=$\sqrt{P{E}^{2}-P{K}^{2}}$=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，
∴EF=2EK=$\sqrt{17}$．
②存在．
a、如图2中，当点P在点A左侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°

∵OP+PA=OA，
∴1+2t+1+t=10，
∴t=$\frac{8}{3}$．
b、如图3中，当点P在点A右侧时，点F与点A重合时，∠EPF=90°．

由OP-PF=OA，
∴1+2t-（1+t）=10，
∴t=10，
综上所述，t=$\frac{8}{3}$s或10s时，存在以点P为直角顶点的Rt△PEF．

点评 本题考查圆的综合题、垂径定理、等腰直角三角形的性质、一次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．