Question

19．如图，在等边△ABC中，K、D两点分别在边AB、BC上，BK=CD，连接AD、CK，并延长CK至点F，连接FB，∠F=30°，若FC=11，CE=3时，则AE的长为5．

Answer 1

分析 作CM⊥AD，交AD的延长线于M，BN⊥CF，先证明△BKC≌△CDA，得出∠BCK═∠DAC，进一步对错∠AEK=∠DAC+∠ACE=∠BCK+∠ACD=60°，解直角三角形求得EM=$\frac{3}{2}$，CM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，然后证明△BCN≌△ACM，得出CN=AM，BN=CM，进一步求得FN=$\sqrt{3}$BN=$\frac{9}{2}$，进而解得结论．

解答 解：作CM⊥AD，交AD的延长线于M，BN⊥CF．
∴∠BNK=∠CMD=90°，
在△BKC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠KBC=∠ACD=60°}\\{BK=CD}\end{array}\right.$
∴△BKC≌△CDA，
∴∠BCK=∠DAC，
∴∠AEK=∠DAC+∠ACE=∠BCK+∠ACD=60°．
∴∠ECM=30°，
∵CE=3，
∴EM=$\frac{3}{2}$，CM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在△BCN和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCN=∠CAM}\\{∠BNC=∠AMC=90°}\end{array}\right.$
∴△BCN≌△ACM，
∴CN=AM，BN=CM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
在RT△BNF中∠F=30°，
∴FN=$\sqrt{3}$BN=$\frac{9}{2}$，
∵FC=11，
∴AM=CN=6.5，
∴AE=AM-EM=6.5-1.5=5，
故答案为5．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，注意结合图形，作出适当的辅助线解决问题．