题目内容
13个不同的正整数的和为1615，则它们的公约数的最大值是（ ）
| A、25 | B、21 | C、17 | D、13 |
考点：约数与倍数
专题：
分析：应先把1615分解，找到约数可能的数．再设出最大公约数，找出13个数最小值，进而求得最大公约数．
解答：解：设13个不同的正整数的最大公约数为d，则，
13个不同的正整数为：da1、da2、…、da13为互不相同正整数，
1615=da1+da2+…+da13=d（a1+a2+…+a13）
a1+a2+…+a13最小为1+2+…+13=（13+1）×13÷2=91，
1615=5×17×19，
1615的约数中，大于91的最小约数是5×19=95，
即：a1+a2+…+a23最小为95，
故最大公约数d可能达到的最大值=1615÷95=17．
故选：C．
13个不同的正整数为：da1、da2、…、da13为互不相同正整数，
1615=da1+da2+…+da13=d（a1+a2+…+a13）
a1+a2+…+a13最小为1+2+…+13=（13+1）×13÷2=91，
1615=5×17×19，
1615的约数中，大于91的最小约数是5×19=95，
即：a1+a2+…+a23最小为95，
故最大公约数d可能达到的最大值=1615÷95=17．
故选：C．
点评：解决本题的关键是先得到1615可能的约数，再求得13个数除去约数外最小的和．
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