Question

15．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（30°角所对的直角边是斜边的一半）
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，∠ADB=30°，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可知∠A=∠C=90°，由翻折的性质可知∠A=∠F=90°，从而得到∠F=∠C，依据AAS证明△DCE≌△BFE即可；
（2）△DCE≌△BFE可知：EB=DE，先求得∠CDE=30°，由30°角所对的直角边是斜边的一半可知ED=2EC，然后再Rt△EDC中利用勾股定理可求得EC=1，从而可求得BE=2．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠C，AB=DC．
根据折叠的性质∠F=∠A=90°、AB=BF．
∴∠A=∠F，DC=BF．
在△DCE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠DEC}\\{∠F=∠C}\\{BF=DC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BFE．
（2）由翻折的性质可知：∠ADB=∠BDF=30°．
∵∠ADC=90°，
∴∠EDC=30°．
∴DE=2EC．
在Rt△CED中，由勾股定理得：（2EC）²-EC²=CD²，即3EC²=3．
∴CE=1．
∴DE=2．
∵△DCE≌△BFE，
∴BE=DE=2．

点评 本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，运用折叠的性质求得∠EDC=30°是解决本题的关键．