Question

11．菱形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…，按照如图所示的方式放置．点A₁，A₂，A₃，…和点C₁，C₂，C₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知∠A₁OC₁=60°，点B₁（3，$\sqrt{3}$），B₂（8，2$\sqrt{3}$），则A_n的坐标是（3•2^n-1-2，2^n-1•$\sqrt{3}$）（用含n的式子表示）

Answer 1

分析 分别过A₁、A₂、A₃作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，根据菱形的性质得四边形A₁B₁C₁O和四边形A₂B₂C₂C₁都为菱形，则A₁B∥x轴，A₂B₂∥x轴，∠A₂C₁E=∠A₃C₂GF=60°，在Rt△A₁OD中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出OD=1，OA₁=2，则A₁（1，$\sqrt{3}$），且OC₁=OA₁=2，接着在Rt△A₂C₁E中可计算出C₁E=2，A₂C₁=4，则A₂（4，2$\sqrt{3}$），C₁C₂=4，同理可得A₃（10，4$\sqrt{3}$），然后利用待定系数法求出直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由A₁、A₂、A₃的纵坐标的规律可得A_n的纵坐标2^n-1•$\sqrt{3}$，于是利用一次函数图象上点的坐标特征可得求出A_n的横坐标，从而得到A_n的坐标．

解答 解：分别过A₁、A₂、A₃作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，
∵∠A₁OC₁=60°，而四边形A₁B₁C₁O和四边形A₂B₂C₂C₁都为菱形，
∴∠A₂C₁E=∠A₃C₂GF=60°，
在Rt△A₁OD中，∵AD=$\sqrt{3}$，∠OA₁D=30°，
∴OD=1，OA₁=2，
∴A₁（1，$\sqrt{3}$），OC₁=OA₁=2，
在Rt△A₂C₁E中，∵A₂E=2$\sqrt{3}$，∠C₁A₂E=30°，
∴C₁E=2，A₂C₁=4，
∴A₂（4，2$\sqrt{3}$），C₁C₂=4，
同理可得A₃（10，4$\sqrt{3}$），
把A₁（1，$\sqrt{3}$），A₂（4，2$\sqrt{3}$）分别代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由A₁、A₂、A₃的纵坐标的规律可得A_n的纵坐标2^n-1•$\sqrt{3}$，
当y=2^n-1•$\sqrt{3}$时，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=2^n-1•$\sqrt{3}$，
解得x=3•2^n-1-2．
∴A_n的坐标是（3•2^n-1-2，2^n-1•$\sqrt{3}$）．
故答案为（3•2^n-1-2，2^n-1•$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．