Question

6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，将△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，点A的对应点A′，点C的对应点C′．如果点A′在BC边上，那么点C和点C′之间的距离等于多少$\frac{{8\sqrt{10}}}{5}$．

Answer 1

分析 作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如图1，先利用等腰三角形的性质得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，再利用勾股定理计算出AD=4，接着利用旋转的性质得A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，则利用面积法可求出C′E，然后在Rt△A′C′E中利用勾股定理计算A′E，于是可在Rt△C′CE中利用勾股定理计算出CC′．

解答 解：作AD⊥BC于D，C′E⊥BC于E，如图1，
∵AB=AC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×8=12，
∵△ABC绕着点B旋转的△A′BC′，
∴A′B=A′C′=AB=5，△A′BC′≌△ABC，
∴A′C=3，S_△A′BC′=12，
而S_△A′BC′=$\frac{1}{2}$•5•C′E，
∴$\frac{1}{2}$•5•C′E=12，解得C′E=$\frac{24}{5}$，
在Rt△A′C′E中，A′E=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴CE=3-$\frac{7}{5}$=$\frac{8}{5}$，
在Rt△C′CE中，CC′=$\sqrt{（\frac{8}{5}）^{2}+（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．
故答案为$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是关键Rt△CC′E，利用勾股定理计算CC′的长．