题目内容
20．
如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：$\sqrt{3}$，AB=8米，AE=10米．（i=1：$\sqrt{3}$是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）
分析 （1）在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH即可；
（2）过B作BG⊥DE于G在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长，然后根据CD=CG+GE-DE即可求出广告牌CD的高度．
解答 解：（1）在Rt△ABH中，tan∠BAH=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=4米；
（2）过B作BG⊥DE于G，
如图所示：
由（1）得：BH=4米，AH=4$\sqrt{3}$米，
∴BG=AH+AE=4$\sqrt{3}$+10（米），
Rt△BGC中，∠CBG=45°，
∴CG=BG=4$\sqrt{3}$+10（米）．
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=10米，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=10$\sqrt{3}$米．
∴CD=CG+GE-DE=4$\sqrt{3}$+10+4-10$\sqrt{3}$=14-6$\sqrt{3}$≈3.6（米）．
答：广告牌CD的高度约为3.6米．
点评 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
练习册系列答案
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