Question

16．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论．
（3）当AB和CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．
（直接写出结论，不必写证明过程）

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线的性质可得EF平行且等于$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}$AB，GH∥AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）根据临边相等的平行性四边形是菱形可得当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形；
（3）根据有一个角为直角的菱形是正方形可得当AB和CD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．

解答 证明：（1）∵E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
同理GH=$\frac{1}{2}$AB，GH∥AB，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）当四边形ABCD满足AB=CD时，EFGH是菱形，
因为，E、F、G、H分别是AB，BD，BC，AC的中点．
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
同理EH平行且等于$\frac{1}{2}$CD，
∴EF=EH，
∵四边形EFGH是平行四边形．
∴平行四边形EFGH是菱形；

（3）当AB和CD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．
延长BA、CD交于M，
∵AB=CD时，EFGH是菱形，
∵AB⊥CD，
∴∠M=90°，
∵EF∥AB，EH∥CD，
∴∠FEH=∠M=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
故梯形ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形EFGH是正方形．

点评 此题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定、菱形和正方形的判定，关键是掌握平行四边形的判定、菱形和正方形的判定定理．