Question

7．已知：如图，在⊙O中，OA、OB为⊙O的半径，且OA⊥OB，点D为$\widehat{AB}$（不与A、B重合）上一动点，过点O作OE⊥AD于点E，过点O作OF⊥DB于点F．
（1）求$\widehat{ACB}$的度数以及∠ADB的度数；
（2）随着点D在$\widehat{AB}$上的运动，EF的长度会发生变化吗？请说明理由；
（3）若已知弦AD=4$\sqrt{2}$，弦BD=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由∠AOB=90°，根据圆心角、弧、弦的关系即可求得$\widehat{ACB}$的度数以及∠ADB的度数；
（2）连接AB，根据垂径定理得出EF是△ABD的中位线，根据三角形的中位线定理即可证得结论；
（3）作BG⊥AD，交AD的延长线于G，得出△BDG是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得BG和DG，进而得出AG的长，根据勾股定理求得AB的平方，然后再通过勾股定理即可求得圆的半径．

解答 解：（1）∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴$\widehat{ACB}$的度数为270°，
∴∠ADB=135°，；
（2）EF的长度不会发生变化，
理由：如图，连接AB，
∵OE⊥AD，OF⊥DB，
∴AE=DE，DF=BF，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，
因为AB是定值，所以EF的长度不会发生变化；
（3）如图，作BG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDG=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BG=DG，
∵BD²=BG²+DG²，BD=4，
∴BG=DG=$\sqrt{\frac{B{D}^{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴AG=D+DG=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
在RT△ABG中，AB²=AG²+BG²=（6$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²=80，
在RT△AOB中，AB²=OA²+OB²，
∵OA=OB，
∴2OA²=80，
∴OA=2$\sqrt{10}$．
∴⊙O的半径为2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形的中位线定理以及勾股定理，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键．