Question

13．如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）我们规定当a≥b时max（a，b）=a；当a≤b时max（a，b）=b，如max（2，5）=5，max（2，2）=2，请直接写出在本题条件下，满足$max（kx+b，\frac{m}{x}）=\frac{m}{x}$时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为点B在函数的图象上，故将点B的坐标代入反比例函数的解析式中即可求得反比例函数的表达式，并用待定系数法求得一次函数的表达式
（2）令y=0，利用直线AB的表达式即可求得点C的坐标．
（3）利用函数的图象与不等式的关系求解．

解答 解：（1）∵B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{8}{x}$
又∵点A（-4，n）在反比例函数y=-$\frac{8}{x}$上，
∴n=-$\frac{8}{-4}$=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-4}\\{-4k+b=2}\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴一次函数的表达式为：y=-x-2．
（2）∵令y=0，则-x-2=0，x=-2，
∴直线AB与x轴的交点C的坐标为（-2，0），
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|-2|•2+$\frac{1}{2}$•|-2|•|-4|=6
即：△AOB的面积为6
（3）根据题意：满足$max（kx+b，\frac{m}{x}）=\frac{m}{x}$时x的取值为直线位于双曲线上方时对应的x的取值范围，
∴满足$max（kx+b，\frac{m}{x}）=\frac{m}{x}$时x的取值范围是：x≤-4与0≤x≤2

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解函数图象上的点与函数解析式之间的关系．