Question

10．设三角形三内角的度数分别为α、β、γ，如果其中一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”，并把满足条件的α、β、γ（β≤γ）称为“和谐三角形”的一组值．例如α=30°，β=60°，γ=90°为“和谐三角形”的一组值．
（1）当α=48°，写出以α=48°为其中一个内角的“和谐三角形”的一组值；
（2）当α≥135°时，符合条件的“和谐三角形”是否只有一组值，写出你的判断并用含α的代数式表示β、γ；
（3）α为何值时，符合条件的“和谐三角形”分别有一组、二组、三组值？请你分别写出对应α的值或范围（直接填在下表中）．

符合条件的“和谐三角形”的值	一组	二组	三组
α的值或范围	α≥135°	45°≤α＜135°	0°＜α＜45°

Answer 1

分析 （1）有两种切线①α是β的三倍，②γ是β的三倍．
（2）只有一种情形，γ是β的三倍，构建三角形内角和定理即可解决问题．
（3）根据135°=3×45°，135°+45°=180°，由此即可解决问题．

解答 解：（1）α=48°，β=33°，γ=99°或α=48°，β=16°，γ=116°．
（2）只有一组，β=$\frac{1}{4}$（180°-α），γ=$\frac{3}{4}$（180°-α）．
（3）α≥135°时，只有一组．
45°≤α＜135°时，有二组．
0°＜α＜45°时，有三组．
故答案分别为α≥135°，45°≤α＜135°，0°＜α＜45°．

点评 本题考查三角形内角和定理、解题的关键是理解题意，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考创新题目．