Question

13．你能化简（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情形入手：
分别计算下列各式的值：
①（x-1）（x+1）=x²-1；
②（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
③（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；…
由此我们可以得到：（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1；
请你利用上面的结论，完成下面三题的计算：
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1；
（2）（-2）⁵⁰+（-2）⁴⁹+（-2）⁴⁸+…+（-2）+1
（3）已知x³+x²+x+1=0，求x²⁰⁰⁸的值．

Answer 1

分析 根据平方差公式，和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1；
（1）可在等式的前面乘（2-1），再利用所得的规律计算即可；
（2）可在等式的前面乘（-2-1），再利用所得的规律进行计算，再除以-3即可求得结果；
（3）由x³+x²+x+1=0可得（x-1）（x³+x²+x+1）=0即x⁴-1=0，求得x的值代入计算即可．

解答 解：观察所给等式可得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1，
故答案为：x¹⁰⁰-1；
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1=（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1）=2¹⁰⁰-1；

（2）∵（-2-1）[（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁸+…+（-2）+1]=（-2）¹⁰⁰-1=2¹⁰⁰-1，
∴（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁸+…+（-2）+1=（2¹⁰⁰-1）÷（-2-1）=$\frac{1-{2}^{100}}{3}$；

（3）∵x³+x²+x+1=0，
∴（x-1）（x³+x²+x+1）=0，即x⁴-1=0，
解得：x=1（不合题意，舍去）或x=-1，
则x²⁰⁰⁸=（-1）²⁰⁰⁸=1．

点评 本题主要考查规律的总结及应用，由所给等式总结出等式的规律是解题的关键．注意规律的灵活运用．