题目内容

16.我们学习过|x+1|+|x-5|的最小值和|x-1|+|x-4|+|x-8|的最小值,请试试看下面的最小值
(1)求|x-1|+|x-2|+…+|x-2015|+|x-2016|的最小值及何时取到最小值.
(2)求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|的最小值及何时取到最小值.

分析 (1)利用绝对值的性质,结合数轴的定义可得出代数式的中间部分为0时,代数式最小,进而求出答案;
(2)观察已知条件可以发现,|x-a|表示x到a的距离.要是题中式子取得最小值,则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值,此时式子得出的值则为最小值.

解答 解:(1)由题意可得:当x=1008时,则x-1008=0时,
代数式|x-1|+|x-2|+…+|x-2015|+|x-2016|的值最小,
最小值为:1007+1006+1005+…+1+0+1+…+1008
=1007×(1007+1)+1008
=1007×1008+1008
=1016064.

(2)由已知条件可知,|x-a|表示x到a的距离,只有当x到1的距离等于x到4的距离时,式子取得最小值.
∴当x=$\frac{1+4}{2}$=2.5时,式子取得最小值,
此时|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|
=|2.5-1|+2|2.5-2|+3|2.5-3|+4|2.5-4|
=1.5+1+1.5+6
=10.

点评 本题主要考查了绝对值的性质及数形结合求最值问题,掌握|x-a|表示x到a的距离.要是题中式子取得最小值,则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值.

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