Question

15．已知反比例函数y=$\frac{a+4}{x}$（a为常数）的图象经过点B（-4，2）．
（1）求a的值；
（2）如图，过点B作直线AB与函数y=$\frac{a+4}{x}$的图象交于点A，与x轴交于点C，且AB=3BC，过点A作直线AF⊥AB，交x轴于点F，求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数y=$\frac{a+4}{x}$（a为常数）的图象经过点B（-4，2），直接利用待定系数法求解即可求得答案；
（2）首先分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，易得△BCD∽△ACE，即可求得A的坐标，由△ACE∽△FAE，即可求得答案．

解答 解：（1）∵图象过点B（-4，2），代入y=$\frac{a+4}{x}$，
∴2=$\frac{a+4}{-4}$，
解得：a=-12；

（2）∵a=-12，
∴反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$，
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，
∵AB=3BC，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{1}{4}$，BD=2，
∵AD∥BE，
∴△BCD∽△ACE，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{BD}{AE}$，
即$\frac{2}{AE}=\frac{1}{4}$，
∴AE=8．
∴把y=8代入$y=-\frac{8}{x}$，
得x=-1．
∴A（-1，8），
设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（-1，8），B（-4，2）代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}-k+b=8\\-4k+b=2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=10\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=2x+10，
当y=0时，2x+10=0，
解得：x=-5，
∴C（-5，0），
∴$AC=\sqrt{A{E^2}+C{E^2}}=\sqrt{{8^2}+{4^2}}=4\sqrt{5}$，
∵AF⊥AB，AE⊥CF，
∴△ACE∽△FAE，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8}{AF}$，
解得：AF=8$\sqrt{5}$．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．