Question

3．如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（　　）
①OE=OF；②CE=CF；③若CE=12，CF=5，则OC的长为6；④当AO=CO时，四边形AECF是矩形．

• A． ①②
• B． ①④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
②当AC⊥BD时，CE=CF；
③根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
④根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．

解答 解①∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
∴①正确；

②当AC⊥BD时，CE=CF；
故②错误；

③∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13，
∴OC=$\frac{1}{2}$EF=6.5；
故③错误；

④当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
故④正确；
故选B．

点评 此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．