Question

12．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径作⊙O交斜边于另一点D，且AO=OD=DB．

（1）如图1，⊙O与直角边BC相切于E点，连接AE，求cos∠CAE的值；
（2）如图2，⊙O与直角边BC相交于E、F两点，且E为$\widehat{DF}$的中点，连接AF，求cos∠CAF的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OE由BC与⊙O相切，得到OE⊥BC，由于AO=OD=DB，推出∠B=$\frac{1}{2}∠$BOE=30°，根据同圆的半径相等得到OA=OE，于是∠BAE=∠AEO=30°，进而求得结果cos∠CAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）如图2，连接DF，OE，由垂径定理得到∴OE⊥DF，由AD是⊙O的直径，得到∠AFD=90°，根据平行线分线段成比例得到$\frac{OE}{AF}=\frac{OB}{AB}=\frac{BE}{BF}=\frac{2}{3}$，过O作OG⊥BC，同理可得$\frac{OG}{AC}=\frac{BO}{AB}=\frac{BG}{BC}=\frac{2}{3}$，于是得到结果

解答 解：（1）如图1，连接OE，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥BC，
∵AO=OD=DB，
∴∠B=$\frac{1}{2}∠$BOE=30°，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠AEO=30°，
∴cos∠CAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）如图2，连接DF，OE，
∵E为$\widehat{DF}$的中点，
∴OE⊥DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，
∴OE∥AF，
∴$\frac{OE}{AF}=\frac{OB}{AB}=\frac{BE}{BF}=\frac{2}{3}$，
过O作OG⊥BC，
∴OG∥AC，G为EF的中点，
∴$\frac{OG}{AC}=\frac{BO}{AB}=\frac{BG}{BC}=\frac{2}{3}$，
设圆的半径为 r，
∴r=$\sqrt{2}$EF，CF=$\frac{3}{4}$EF，
∴cos∠CAF=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质，锐角三角函数，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．