Question

5．在△ABC中，CA=CB，CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E，使∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G．
（1）如果∠ACB=90°，
①如图1，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；
②如图2，当点P不与点A重合时，求$\frac{CF}{PE}$的值；
（2）如果∠CAB=a，如图3，请直接写出$\frac{CF}{PE}$的值．（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①首先补全图形，如图1，易得AD=CD，∠EAD=22.5°，∠ECF=∠ACF-∠ACE=22.5°，即可得到△ADE（或△PDE）与△CDG全等；②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，如图2，易证△PFC≌△PFN，即可得到CF=FN=$\frac{1}{2}$CN，要求$\frac{CF}{PE}$的值，只需求出$\frac{CN}{PE}$，易证△PME≌△CMN，即可得到PE=CN，问题得以解决；
（2）过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，如图3，同（1）②可得CF=$\frac{1}{2}$CN，易证△CMN∽△PME，则有$\frac{CN}{PE}$=$\frac{CM}{PM}$，然后在Rt△PMC中运用三角函数就可解决问题．

解答 解：（1）①作图，如图1所示．

△ADE（或△PDE）与△CDG全等．
提示：只需证AD=CD，∠EAD=22.5°，∠ECF=22.5°即可；
②过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，如图2，

则有∠CPM=∠CAB．
∵∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CPN，
∴∠CPE=∠FPN．
∵PF⊥CG，∴∠PFC=∠PFN=90°．
在△PFC和△PFN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠NPF}\\{PF=PF}\\{∠PFC=∠PFN}\end{array}\right.$，
∴△PFC≌△PFN，
∴CF=FN，PC=PN．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴∠A=∠B=45°，∠ADC=90°．
∵PN∥AB，
∴∠CPN=∠A=45°，∠PMC=∠ADC=90°．
∴∠PCN=∠PNC=67.5°，∠ACD=∠A=45°，
∴∠MCN=22.5°．
∵∠CPE=$\frac{1}{2}$∠CAB=22.5°，
∴∠EPM=22.5°，
∴∠EPM=∠MCN=22.5°．
∵∠CPM=∠PCM=45°，
∴PM=CM．
在△PME和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPM=∠MCN}\\{PM=CM}\\{∠EMP=∠NMC}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△CMN，
∴PE=CN，
∴$\frac{CF}{PE}=\frac{CF}{CN}=\frac{1}{2}$；

（2）$\frac{CF}{PE}$=$\frac{1}{2}tanα$．
提示：过点P作PN∥AG交CG于点N，交CD于点M，如图3，

同（1）②可得CF=$\frac{1}{2}$CN．
易证△CMN∽△PME，
则有$\frac{CN}{PE}$=$\frac{CM}{PM}$．
∵tan∠CPN=$\frac{CM}{PM}$，∠CPM=∠A=α，
∴tanα=$\frac{CM}{PM}$=$\frac{CN}{PE}$=$\frac{2CF}{PE}$，
∴$\frac{CF}{PE}$=$\frac{1}{2}tanα$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，通过添加辅助线把求$\frac{CF}{PE}$的值转化为求$\frac{CN}{PE}$的值是解决本题的关键．