Question

2．如图所示，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，点E在AD上．求证：BC=AB+CD．

Answer 1

分析 在BC上取点F，使BF=AB，就可以得出△ABE≌△FBE，就有∠A=∠BFE，由平行线的性质就可以得出∠EFC=∠D，进而得出△EFC≌△EDC，就有CF=CD，从而得出结论．

解答 证明：在BC上取点F，使BF=AB．
∵BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠ABE=∠FBE，∠BCE=∠DCE．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
在△ABE和△FBE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=FB}\\{∠ABE=∠FBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠A=∠BFE，
∴∠BFE+∠D=180°．
∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠EFC=∠D．
在△EFC和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFC=∠D}\\{∠BCE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△EDC（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD．

点评 本题考查平行线的性质的运用．角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．