Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在线段DE上，连结AF，CF．若CF恰好平分∠ACB，则∠FAC的度数为60°．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE∥BC，再根据角平分线的定义求出∠BCF=∠ACF=30°，然后根据平行线的性质求出∠CFE=∠BCF，从而得到∠ACF=∠CFE，再根据等角对等边可得CE=EF，从而求出AE=EF，根据两直线平行，同位角相等可得∠AED=∠ACB=60°，判断出△AEF是等边三角形，最后根据等边三角形的每一个角都是60°解答．

解答 解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∵CF恰好平分∠ACB，
∴∠BCF=∠ACF=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵DE∥BC，
∴∠CFE=∠BCF=30°，
∴∠ACF=∠CFE，
∴CE=EF，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∴AE=EF，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠FAC=60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，熟记定理与性质并考虑求出△AEF是等边三角形是解题的关键．