Question

11．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．
（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{7}$，求证：△ABC是“匀称三角形”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”．如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G，每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧．在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作AC边的中线BD交AC于点D，运用勾股定理求出BD，AC=BD得出△ABC是“匀称三角形”．
（2）①在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有4个．利用图形表示出各点．
②在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P．第四种情况，运用△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”得出P点横坐标为整数3．

解答 解：（1）如图1，作AC边的中线BD交AC于点D，
∵∠C=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{7}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4．
∴AD=CD=2．
BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=4，
∴AC=BD，
∴△ABC是“匀称三角形”；
（2）①在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有4个．
如图：
第一种如图2，点C（1，0），点D（3，0）与A重合，用圆的交点找点P，

第二种如图3，点C（1，0），点D（2，0）

第三种如图4，点C（1，0），点D（5，0）

第四种如图5，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，

②在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P．
第四种情况，如图5，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形．

∵A（3，0），C（2，0），
B（4，0），D（3，0）
∴AC=1，BD=1
设PM、PN分别为CA、DB上的中线，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，
AN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$，
∴AM=AN=$\frac{1}{2}$，
∴点A为MN的中点．
∵△PAC与△PBD是“水平匀称三角形”，
∴PM=AC=1，PN=BD=1，
∴PM=PN=1，
∴PA⊥MN，即PA与x轴垂直，
∵A（3，0）
∴P点横坐标为整数3．
在Rt△PMA中，PM=1，AM=$\frac{1}{2}$，
∴PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴P（3，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
所以，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数．

点评 本题主要考查了几何变换综合题，题目给出了新的定义即“匀称三角形”和“水平匀称三角形”，解题的关键是理解定义并能正确运用定义解题．