Question

6．已知：关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论m=0和m≠0两种情况下方程根的个数；
（2）把mx²+（3m+1）x+3=0因式分解得到x₁=-$\frac{1}{m}$，x₂=-3，根据题意可知-$\frac{1}{m}$是整数，据此求出正整数m的值．

解答 （1）证明：当m=0时，x=-3，
当m≠0时，b²-4ac=（3m-1）²≥0，
所以 该一元二次方程有两个实根，
综上不论m为何实数，此方程总有实数根；
（2）解：∵mx²+（3m+1）x+3=0，
∴（mx+1）（x+3）=0，
∴x₁=-$\frac{1}{m}$，x₂=-3，
∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，
∴m=1．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．