Question

16．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O切BC于点D，交AC于点E，且AD=BD．
（1）求证：DE∥AB；
（2）如图2，连接OC，求cos∠ACO的值．

Answer 1

分析 （1）连结OD、OE，如图1，根据切线性质得OD⊥BC，则OD∥AC，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，则∠1=∠2，再利用AD=BD得到∠1=∠B，所以∠1=∠2=∠B，然后根据三角形内角和可计算出∠1=∠2=∠B=30°，于是可判断△OAE为等边三角形，得到AE=OE，再判断四边形AEDO为平行四边形，从而得到DE∥AB；
（2）作OH⊥AE于H，如图2，则AH=HE，设⊙O的半径为r，在Rt△AOH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，易得四边形ODCH为矩形，则CH=OD=r，再利用勾股定理计算出OC=$\frac{\sqrt{7}}{2}$r，然后根据余弦的定义求解．

解答 （1）证明：连结OD、OE，如图1，
∵BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∵AD=BD，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2=∠B，
∵∠1+∠2+∠B=90°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴△OAE为等边三角形，
∴AE=OE，
∴AE=OD，
∵AE∥OD，
∴四边形AEDO为平行四边形，
∴DE∥AB；
（2）解：作OH⊥AE于H，如图2，则AH=HE，
设⊙O的半径为r，
在Rt△AOH中，∵∠OAH=60°，
∴AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$r，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
易得四边形ODCH为矩形，
∴CH=OD=r，
在Rt△OCH中，OC=$\sqrt{O{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}r）^{2}+{r}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$r，
∴cos∠HCO=$\frac{CH}{CO}$=$\frac{r}{\frac{\sqrt{7}r}{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
即cos∠ACO=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的性质和三角函数的定义．