Question

如图，点A、B在直线l的同侧，点B′是B点关于l的对称点，AB′交l于点P．
（1）AB′与AP+PB相等吗？为什么？
（2）在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：轴对称的性质

专题：

分析：（1）由轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，可得PB=PB′，即可得证AB′=AP+PB；
（2）连接QB′，由轴对称的性质可得：QB=QB′，然后根据两点之间线段最短（三角形的三边关系）可得：AQ+QB′＞AB′，即AQ+QB＞AP+PB．

解答：解：（1）AB′与AP+PB相等，连接BB′，

∵点B′是B点关于l的对称点，
∴l垂直平分线段BB′，
∴PB=PB′，
∴AP+PB′=AP+BP，
即：AB′=AP+BP；
（2）AQ+QB＞AP+PB，
连接QB′，如图所示，

∵点B′是B点关于l的对称点，
∴l垂直平分线段BB′，
∴BQ=QB′，
∵AQ+QB′＞AB′，
∴AQ+BQ＞AB′，
∵AB′=AP+BP，
∴AQ+QB＞AP+PB．

点评：本题考查的是轴对称--最短路线的问题，涉熟知两点之间线段最短（三角形任意两边之和大于第三边）的知识是解答此题的关键．