Question

2．在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{3}{4}$x+1与x轴交于点A，且与双曲线y=$\frac{k}{x}$的一个交点为B（$\frac{8}{3}$，m）．
（1）求点A的坐标和双曲线y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）若BC∥y轴，且点C到直线y=$\frac{3}{4}$x+1的距离为2，求点C的纵坐标．

Answer 1

分析 （1）令直线y=$\frac{3}{4}$x+1中y=0，解关于x的一元一次方程即可得出A点的坐标，由点B在直线y=$\frac{3}{4}$x+1上，可求出m的值，再将点B坐标代入双曲线y=$\frac{k}{x}$中，解关于k的一元一次方程即可求出双曲线y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）令直线y=$\frac{3}{4}$x+1与y轴的交点为D，过点C作CE⊥直线y=$\frac{3}{4}$x+1于点E，由BC∥y轴结合B点坐标即可找出直线BC的函数表达式，设C点的坐标为（$\frac{8}{3}$，n），由平行线的性质可得出∠CBE=∠ADO，结合∠CEB=∠AOD=90°即可得出△BEC∽△DOA，根据相似三角形的性质可得出$\frac{BC}{AD}=\frac{CE}{OA}$，由此即可得出关于n的函数绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出n值．

解答 解：令y=0，则有0=$\frac{3}{4}$x+1，解得x=-$\frac{4}{3}$，
即点A的坐标为（-$\frac{4}{3}$，0）．
令x=$\frac{8}{3}$，则m=$\frac{3}{4}×\frac{8}{3}$+1=3，
即点B的坐标为（$\frac{8}{3}$，3）．
将点B（$\frac{8}{3}$，3）代入到双曲线y=$\frac{k}{x}$中得3=$\frac{k}{\frac{8}{3}}$，
解得k=8，
∴双曲线的表达式为y=$\frac{8}{x}$．
（2）依照题意画出图形，令直线y=$\frac{3}{4}$x+1与y轴的交点为D，过点C作CE⊥直线y=$\frac{3}{4}$x+1于点E，如图所示．
∵BC∥y轴且点B的坐标为（$\frac{8}{3}$，3），
∴直线BC的表达式为x=$\frac{8}{3}$，
设点C的坐标为（$\frac{8}{3}$，n）．
令y=$\frac{3}{4}$x+1中x=0，则y=1，
∴点D（0，1），
∴AD=$\sqrt{（0+\frac{4}{3}）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，OA=$\frac{4}{3}$．
∵BC∥y轴，
∴∠CBE=∠ADO，
∵∠CEB=∠AOD=90°，
∴△BEC∽△DOA，
∴$\frac{BC}{AD}=\frac{CE}{OA}$．
∵CE=2，BC=|n-3|，
∴$\frac{|n-3|}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{\frac{4}{3}}$，
解得：n=$\frac{11}{2}$或n=$\frac{1}{2}$．
故点C的纵坐标为$\frac{1}{2}$或$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元一次方程以及点到直线的距离公式，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据相似三角形的性质即可得出关于n的函数绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，利用相似三角形的性质找出方程是关键．