Question

14．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；
（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．

Answer 1

分析 （1）先利用直角三角形的性质，求出∠BAD，再由平行得到∠ADF′即可；
（2）先求出∠ADF′，再判断△ADF′≌△BDE′即可．

解答 解：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，
∴∠BAD=45°，
∵DF′∥AB，
∴∠ADF′=∠BAD=45°，
∴α=45°-30°=15°，
（2）∵α=120°，
∴∠ADE′=120°，
∴∠ADF′=120°+30°=150°，
∠BDE′=360°-90°-120°=150°，
∴∠ADF′=∠BDE′，
在△ADF′和△BDE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DB}\\{∠ADF′=∠BDE′}\\{DE′=DF′}\end{array}\right.$，
∴△ADF′≌△BDE′，
∴AF′=BE′．

点评 此题是旋转性质题，主要考查了旋转角，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是旋转角的计算．