Question

6．平行四边形DEFG和Rt△ABC如图放置在同一直线上，点E与点A重合，AB=9，DE=3，DG=2，∠G=∠C=60°，∠B=90°．平行四边形DEFG从如图所示状态开始向右沿AB方向以每秒1个单位的速度平移，设运动的时间为t，直到点E与点B重合为止：
（1）?线段EG的长度为$\sqrt{19}$；当t=4秒时，点F恰好运动到AC上；
（2）若平行四边形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积为S，直接写出整个运动过程中S与t之间的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）在整个平移过程中，是否存在某一时刻，使以A、C、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图连接AG，延长GF交AC于M，交BC于N，作AH⊥FM于H，在RT△AFH中求出FH，在RT△AFM中求出FM，即可解决问题．
（2）分四种情形讨论①当0＜t≤3时，如图2中，②3＜t≤4时，如图3中，③当4＜t≤7时，如图4中，④当7＜t≤9时，分别求解即可．
（3）①如图5中，当CG′=CE=6$\sqrt{3}$时，②如图6中，当G′C=G′A时，延长D′G′交AC于K，分别求解即可．

解答 解：（1）如图连接AG，延长GF交AC于M，交BC于N，作AH⊥FM于H．

∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DG∥AF，
∴∠AFH=∠DGH=60°，∵∠AHF=90°，AF=2，
∴FH=1，AH=$\sqrt{3}$，
∴EG=$\sqrt{G{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
∵∠DGF=∠DAF=60°，∠BAC=30°，
∴∠FAM=90°，
∴FM=2AF=4，
∴t=4时点F恰好运动到AC上．
故答案分别为$\sqrt{19}$，4秒．
（2）①当0＜t≤3时，如图2中，

∵∠AKE′=∠FAM=90°，∠KAE′=30°，AE′=t，
∴KE′=$\frac{1}{2}$t，AK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•AK•KE′=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²，
②3＜t≤4时，如图3中，

S=S_{四边形HKE′D′}=$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（t-3）²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t-$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．
③当4＜t≤7时，如图4中，

S=S_{平行四边形E′F′G′D′}-S_△KMG′=3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{7-t}{2}$）²=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$t-$\frac{25\sqrt{3}}{8}$．
④当7＜t≤9时，重叠部分就是平行四边形的面积，S=3$\sqrt{3}$．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}}&{（0＜t≤3）}\\{\frac{3\sqrt{3}}{4}t-\frac{9\sqrt{3}}{8}}&{（3＜t≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{8}{t}^{2}+\frac{7\sqrt{3}}{4}t-\frac{25\sqrt{3}}{8}}&{（4＜t≤7）}\\{3\sqrt{3}}&{（7＜t≤9）}\end{array}\right.$，

（3）①如图5中，当CG′=CE=6$\sqrt{3}$时，

在RT△G′CN中，G′N=$\sqrt{CG{′}^{2}-C{N}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{3}）^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{6}$，
∴GG′=GN-G′N=13-4$\sqrt{6}$．
∴t=13-4$\sqrt{6}$．
②如图6中，当G′C=G′A时，延长D′G′交AC于K，

在RT△KMG′中，∵∠MKG′=90°，MK=$\sqrt{3}$，∠KMG′=30°，
∴MG′=2，
∴GG′=GF+FM+MG′=9，
∴t=9，
综上所述t=13-4$\sqrt{6}$或9秒时，使得A、C、G为顶点的三角形是等腰三角形．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形定义等知识，解题的关键是正确画出图形，学会分类讨论，属于中考压轴题．